Cari Tahu BAROTROPIK dan BAROKLINIK pada Perairan

 

A.      Pendahuluan

Barotropik dan Baroklinik merupakan kondisi tekanan dan densitas di lautan. Kedua parameter utama tersebut digambarkan dengan garis yang menunjukan permukaan tekanan dan densitas dengan nilai yang. Permukaan tekanan yang sama disebut dengan Isobarik sedangkan permukaan denga nilai densitas yang sama disebut Isopicnic. Hubungan permukaan tekanan dan densitas tersebut dapat digambarkan seperti di bawah.

Gambar menujukan kondisi Barotropik. Pada kondisi tersebut air laut tercampur sempurna dan densitasnya homoge. Densitas tidak bertambah terhadap kedalaman sehingga permukaan isobarik tidak hanya sejajar pada permukaan laut tetapi juga pada permukaan Isopiknik. variasi temperatur terhadap permukaan horizontal ditentukan hanya oleh kemiringan permukaan laut, sehingga permukaan isobarik sejajar pada permukaan laut. Namun, variasi densitas tergantung pada berat air dan kemudian tekanan bekerja pada permukaan horizontal. Pada Gambar B terdapat variasi lateral densitas sehingga permukaan isobarik tidak sejajar dengan permukaan laut. Permukaan isobarik berpotongan dengan isopiknik dan dua kemiringan tersebut berlawanan arah. Kondisi ini disebut Baroklinik. Pada kondisi barotropik, distribusi densitas tidak mempengaruhi permukaan isobarik. Sebaliknya pada kondisi baroklinik, variasi lateral densitas mempengaruhi permukaan isobarik.

Kita juga dapat mengetahui pada kondisi Barotropik sudut slope  yg terbentuk pada isobar selalu sama sedngkan pada kondisi Baropiknik sudutnya mengecil dan cenderung menjadi datar  dengan semakin dalmanya kedalaman laut.

A.      Penjelasan pada buku Fundamentals of Atmospheres and Ocean on Computers (Lars Petter Roed)

Buku ini kebanyakan memusatkan perhatian pada metode pengembangan beberapa persamaan keseimbangan penting dalam oseanografi dan meteorology, yaitu persamaan adveksi-difusi dan bentuk persamaan air dangkal yang disederhanakan pada bumi yang berputar, dapat diselesaikan dengan cara numerik. Hal tersebut membuat secara khusus penggunaan metode beda hingga. Persamaan adveksi-difusi dan persamaan air dangkal termasuk dalam kelas persamaan yang dikenal sebagai persamaan diferensial parsial.

Di atmosfer dan lautan, variabel dependen (tak bebas) yang paling menonjol adalah tiga komponen u, v, dan w pada kecepatan tiga dimensi v, tekanan p, densitas ρ, (potensial), dan suhu θ 1,2. Kecepatan biasanya disebut sebagai angin di atmosfer dan arus di lautan. salinitas harus dimasukkan di antara variabel yang menonjol di laut. Dari variabel di atas hanya kecepatan yang merupakan vektor. Variabel yang tersisa, biasanya disebut sebagai variabel keadaan, semuanya adalah skalar. Variabel status, kecuali densitas dan tekanan, semuanya adalah contoh dari apa yang disebut pelacak. Contoh pelacak lainnya adalah komponen atau zat kimia terlarut. Karena salinitas, suhu dan kelembaban mempengaruhi gerakan melalui tekanan yang memaksa mereka biasanya disebut sebagai pelacak aktif. Pelacak yang tidak mempengaruhi gerakan, seperti misalnya komponen kimia terlarut, disebut sebagai pelacak pasif.

Normalnya permukaan batas volume yang mengandung atmosfir dan lautan terdiri dari permukaan material. permukaan material adalah permukaan yang terdiri dari partikel yang sama setiap saat. Jadi kondisi batas dinamik pada permukaan material mensyaratkan tidak ada percepatan pada permukaan, yaitu tekanan dan fluks harus kontinu pada permukaan tersebut.

Di atmosfer dan lautan, skala horizontal dari gerakan dominan lebih besar dibandingkan dengan skala vertikal. Akibatnya, kami mengganti persamaan momentum vertikal dengan persamaan hidrostatik di mana percepatan gravitasi diimbangi oleh gradien tekanan vertikal. Ketika seseorang memecahkan sistem tereduksi ini, model dikatakan hidrostatis, dan gerakan dikatakan memenuhi perkiraan hidrostatik.

Satu pendekatan umum yang digunakan di sebagian besar model samudra adalah apa yang disebut pendekatan Boussinesq. Kami mencatat bahwa dasar fundamental untuk perkiraan ini adalah fakta bahwa lautan yang kontras dengan atmosfer hampir tidak dapat dimampatkan. Ini berarti bahwa setiap parsel fluida mempertahankan volumenya.

Penggunaan model laut yang menggunakan pendekatan Boussinesq memiliki satu kelemahan utama. Salah satu contoh yang sangat relevan adalah perkiraan perubahan permukaan laut, atau volume saat lautan global menjadi lebih hangat. Saat memanaskan lautan secara seragam persamaan menyiratkan bahwa kepadatan menurun. Untuk samudra non-Boussinesq, yaitu konservasi massa, respons terhadap penurunan kepadatan adalah memperbesar volumenya. Karenanya permukaan laut naik. Berbeda dengan samudra Boussinesq yang mengawetkan volume, respons terhadap penurunan massa jenis adalah dengan kehilangan massa. Jelas yang terakhir ini sangat tidak realistis.

Persamaan tereduksi yang sangat umum dalam meteorologi dan oseanografi adalah persamaan air dangkal. Kita dapat memperoleh persamaan-persamaan ini dari persamaan pengatur penuh dengan terlebih dahulu membuat pendekatan hidrostatis dan Boussinesq.

Kumpulan persamaan tereduksi umum lainnya didasarkan pada teori kuasi-geostropik. Kumpulan persamaan tereduksi umum lainnya didasarkan pada teori kuasi-geostropik seperti yang dirinci misalnya. Kami pertama kali mencatat bahwa titik awal untuk persamaan kuasi-geostropik adalah persamaan pengatur yang menggunakan pendekatan hidrostatis dan Boussinesq. Oleh karena itu, tanpa kehilangan keumumannya kita dapat memulai dengan persamaan air dangkal. Jadi persamaan geostropik adalah pendekatan pertama untuk hubungan antara kecepatan dan bidang tekanan. Kami mencatat bahwa  tidak memberikan informasi tentang variasi ruang-waktu baik dalam bidang kecepatan atau bidang tekanan. Dinamika tersebut harus diperoleh dari bentuk asimtotik yang relevan dari persamaan vortisitas. Untuk mendapatkan persamaan vortisitas kita mulai dengan mendefinisikan vortisitas relative

Di sini ζ + f adalah vortisitas absolut, sedangkan (ζ + f) / h adalah vortisitas potensial untuk fluida barotropik. Ingatlah bahwa kita telah mengasumsikan bahwa densitasnya konstan. Oleh karena itu, cairan tersebut bersifat barotropik. Vortisitas potensial juga dapat diturunkan untuk fluida baroklinik dengan cara yang sama, tetapi kemudian memiliki ekspresi matematika yang berbeda.

Namun kondisi tersebut tidak mencukupi karena ∂_t u mungkin sebanding dengan istilah Coriolis fk × u. Konsekuensinya, kita juga harus mensyaratkan bahwa kondisi awal terpenuhi. Nilai ∂_t u kemudian akan bergantung pada u · ∇_H u kecil, dan evolusi temporal bidang geostropik dihitung dari persamaan vortisitas asimtotik.

Jadi kita dapat menggunakan persamaan di atas untuk menghitung tekanan atau ketebalan lapisan h pada waktu yang sesuai t> 0 dari distribusi awal pada waktu t = 0. solusi yang dihasilkan kemudian hampir geostropik tetapi tidak cukup, oleh karena itu dinamai quasi-geostropik. Kami menekankan bahwa hanya dalam kondisi yang sangat ketat, seperti yang dijelaskan, persamaan ini valid.

akhirnya bahwa meskipun setiap langkah dalam hierarki pendekatan, yaitu pendekatan Boussinesq, pendekatan hidrostatik, persamaan air dangkal, dan akhirnya pendekatan kuasi-geostropik, menghilangkan atau menyaring kelas fenomena tertentu, keuntungan prosedur semacam itu memungkinkan kita untuk mengisolasi efek yang memiliki skala ruang waktu berbeda. Dalam konteks numerik, mereka juga sangat berguna dalam menetapkan solusi yang dengannya solusi numerik dapat diuji atau diverifikasi.

PERMASALAHAN DIFUSI

menyajikan metode beda hingga dimana persamaan difusi dapat diselesaikan dengan cara numerik.  pertama kali mempertimbangkan persamaan difusi dalam bentuk yang paling sederhana. Oleh karena itu mengasumsikan proses difusi satu dimensi di ruang. Selain itu, berasumsi bahwa fluks difusif dapat diparameterisasi sebagai penurunan difusi gradien dan bahwa koefisien difusi (pencampuran) seragam dalam ruang dan waktu.

Di mana θ dapat berupa variabel apa saja, misalnya, suhu potensial, kepadatan, komponen kecepatan, dan di mana κ adalah koefisien difusi konstan. Dengan demikian karakteristik fisik dari masalah tersebut adalah bahwa properti dipindahkan dari satu lokasi ke lokasi berikutnya melalui konduksi. Kami menekankan bahwa ini sangat berbeda dari masalah tipe hiperbolik, misalnya, masalah adveksi. Proses difusi bertindak hanya untuk meratakan perbedaan tanpa disipasi.

Jika kita membiarkan proses difusi berlangsung selamanya dalam domain tak terbatas, nilai pelacak menjadi sangat kecil, tetapi akan mencakup seluruh domain tak terbatas. Singkatnya, proses difusi mentransfer properti dari satu lokasi ke lokasi berikutnya dengan konduksi yang bertindak untuk mengurangi puncak dalam distribusi sehingga hasil akhirnya adalah bidang yang jauh lebih mulus.

Contoh nyata dari proses difusi adalah konduksi panas (atau pencampuran turbulen) di atmosfer dan lautan. Maka θ adalah suhu potensial dan x salah satu independennya variabel pada ruang. Contoh atmosfer-lautan dari masalah difusi adalah apa yang disebut masalah Ekman, yang di atmosfer menjelaskan bagaimana kecepatan berkurang di lapisan batas planet akibat gesekan di permukaan. Di lautan, masalah Ekman menjelaskan bagaimana momentum akibat traksi permukaan dipindahkan ke bawah dalam kolom air. Perkiraan beda hingga pada persamaan di bawah

Masalah utama lainnya adalah angka tidak stabil. Ini berarti bahwa solusi numerik, bukannya mengikuti solusi kontinu, malah menyimpang darinya. Umumnya ini terjadi secara eksplosif seperti ketidakstabilan analitik (pikirkan ketidakstabilan baroklinik dan barotropik di atmosfer dan lautan). Oleh karena itu disebut perilaku ini ketidakstabilan numerik untuk membedakannya dari ketidakstabilan analitik yang simulasikan menggunakan model numerik. Agar solusi numerik memiliki legitimasi, harus mensyaratkannya stabil secara numerik. Skema numerik stabil jika dan hanya jika solusi numerik dibatasi dalam rentang waktu tertentu.

Tercatat bahwa amplitudo dari semua komponen Fourier menurun secara monoton dan eksponensial seiring bertambahnya waktu. Selain itu, bagian larutan yang terkait dengan gelombang terpendek (bilangan gelombang tertinggi) berkurang lebih cepat daripada bagian larutan yang terkait dengan gelombang panjang (bilangan gelombang rendah). Ini sesuai bahwa difusi bertindak untuk menghaluskan gangguan.

Penghalusan ini selektif dalam arti bahwa gangguan skala kecil dihaluskan dengan cepat sedangkan periode yang lebih lama kurang rentan terhadap redaman dalam periode waktu yang sama. Dengan demikian, difusi bertindak seperti filter yang secara efisien menghaluskan kebisingan skala kecil, jika ada, tanpa secara signifikan meredam gerakan periode yang lebih lama. Perhatikan bahwa ketidakstabilan akhir ini tidak ada hubungannya dengan keakuratan skema yang dipilih. Namun kesalahan pemotongan awal yang melekat dalam skema kami yang dibiarkan tumbuh tidak terkontrol ketika solusinya tidak stabil. Kami akan kembali ke ini di Bagian di bawah.

Dalam istilah matematika, persyaratan stabilitas numerik diformulasikan dengan menyatakan bahwa untuk setiap waktu terbatas t = T> 0 harus ada bilangan terbatas, katakanlah B. dimana θ0 adalah nilai variabel dependen pada waktu t = 0. Untuk sistem linier, dan pada tingkat tertentu juga sistem non-linier, dimungkinkan untuk menganalisis stabilitas skema yang dipilih secara analitik.

PERMASALAH ADVEKSI

Skema upwind atau upstream seperti namanya, skema tersebut menggunakan informasi secara eksklusif dari hulu untuk menghitung nilai pada tingkat waktu yang baru. Ini adalah skema level dua-waktu yang maju dalam waktu dan satu sisi dalam ruang. Jika kecepatan gerak maju positif maka kecepatan gerak mundur dalam ruang, dan maju dalam ruang jika kecepatan gerak maju negatif. Jadi, sekali lagi menggunakan ekspansi deret Taylor, kita dapatkan,

Salah satu keuntungan utama dari skema upstream adalah bahwa konsentrasi pelacak adalah kuantitas pasti yang positif. Oleh karena itu, ia cenderung meratakan solusi secara artifisial seiring berjalannya waktu. Secara khusus, area di mana gradien besar muncul, misalnya, area frontal, rentan terhadap difusi artifisial. Dengan demikian front tersebar yang pada gilirannya menghambat proses ketidakstabilan baroklinik yang realistis. Selain itu, kami mengamati bahwa skema upwind memiliki kesalahan pemotongan yang urutan pertama dalam ruang dan waktu, yaitu akurasinya adalah O (∆t) dan O (∆x), yang satu urutan besarnya lebih kecil dari skema leapfrog . Karena sifat yang agak merugikan ini, tidak merekomendasikan penggunaan skema hulu.

PERMASALAHAN PADA AIR DANGKAL

Dua proses terpenting di atmosfer dan lautan adalah adveksi dan pencampuran (difusi). Hal ini jelas benar mengenai transpor pelacak dan penyebaran, yang memang diatur oleh persamaan adveksi-difusi. Variabel penting dalam persamaan ini adalah kecepatan pergerakan pelacak. Di atmosfer dan lautan, hal ini ditentukan dengan menggunakan persamaan momentum. Dengan demikian kita memasuki alam dinamika atmosfer-lautan. Bagian pentingnya yang membuat dinamika atmosfer-lautan menonjol dari dinamika fluida biasa, adalah efek rotasi bumi. Selain itu, dinamika mengandung banyak variabel dependen dan oleh karena itu merupakan cara yang baik untuk memperkenalkan metode di mana persamaan diferensial parsial yang berisi lebih dari satu variabel dependen dapat diselesaikan secara numerik.

Dengan menyederhanakan, menyelidiki solusi numerik untuk satu set persamaan momentum yang disederhanakan, yaitu persamaan air dangkal dan beberapa himpunan bagiannya. Persamaan ini sederhana, namun memasukkan esensi dari dinamika atmosfer-lautan. Selain itu, cukup kompleks untuk memahami metode di mana persamaan momentum lengkap diselesaikan secara numerik. Salah satu alasan utama untuk hal ini adalah bahwa persamaan gerak barotropik / baroklinik tiga dimensi penuh dapat dijelaskan dalam istilah mode normal vertikal, di mana setiap mode diatur oleh sekumpulan persamaan air dangkal.

Jika kita misalnya mendiskritkan model numerik ke dalam mode vertikal N misalnya, kita mendapatkan satu set persamaan untuk setiap mode vertikal, yaitu, N set persamaan. Masing-masing set ini memiliki apa yang disebut "kedalaman ekuivalen" (atau ketinggian geopotensial ekuivalen) yang kira-kira sesuai dengan ketinggian permukaan koordinat di atas tanah / dasar. Contoh ilustrasinya adalah gerakan atmosfer barotropik atau lautan (Ingatlah bahwa untuk kepadatan fluida barotropik dan permukaan tekanan adalah bersamaan), yang merupakan mode normal vertikal pertama dan terpenting.

Singkatnya, persamaan air dangkal adalah himpunan yang sangat cocok untuk menggambarkan sifat dasar dinamika atmosfer-samudra. Untuk satu hal itu menyoroti pentingnya geostropik atau yang disebut keseimbangan geostropik (Keseimbangan geostropik adalah keseimbangan antara suku percepatan Coriolis dan gaya tekanan), keseimbangan dinamis yang ketat dan penting yang membatasi dinamika atmosfer-lautan.

KONDISI BATAS TERBUKA DAN TEKNIK NESTING

Seperti diketahui, komputer, betapapun besarnya, hanya dapat menampung sejumlah kecil angka dalam apa yang disebut RAM. Ini mungkin alasan utama mengapa oseanografi numerik kurang matang dibandingkan meteorologi numerik. Untuk mengilustrasikan poin ini mari kita pertimbangkan model global dengan ukuran grid sekitar 2 derajat. Ini adalah ukurangrid yang dapat ditoleransi untuk model atmosfer numerik. Untuk mendapatkan resolusi serupa di lautan, kita harus menggunakan grid-grid dengan ukuran 2-4 km, atau 1/200 derajat. Jadi, kebutuhan RAM jauh lebih tinggi untuk model samudra daripada untuk model atmosfer yang mencakup wilayah yang sama. Selain itu, muncul fakta bahwa dengan ukuran mesh yang berkurang, langkah waktu juga jauh lebih kecil untuk memenuhi kriteria CFL.

Untuk memungkinkan komputer menyediakan prakiraan cuaca samudra numerik secepat model NWP (numerical weather prediction) saat ini untuk wilayah yang sama, oleh karena itu, kami membutuhkan komputer yang jauh lebih cepat. Lebih buruk lagi, ingatlah bahwa skala waktu di lautan jauh lebih lama daripada di atmosfer. Prediksi cuaca mengatakan sepuluh hari sesuai dengan ramalan laut setidaknya satu bulan.

Namun, masih ada efek lokal, terutama proses yang terkait dengan topografi yang tidak teratur, yang belum diselesaikan dengan baik oleh model global. Dengan demikian, sebagian besar lembaga nasional yang menyediakan layanan meteorologi publik menjalankan model area terbatas yaitu "Nested" ke dalam model global. Saat nesting pada mesh mode (atau inner model) ke mesh model kasar (atau outer model), perlu mentransfer hasil model dari model luar ke model dalam melalui batas umum mereka. Karena fluida dibiarkan melewati batas-batas ini secara bebas, maka biasanya disebut sebagai batas terbuka. Penyusunan model mesh yang lebih halus ke dalam model yang lebih kasar terkadang juga disebut sebagai penurunan skala dinamis karena model bagian dalam memberikan solusi yang merupakan penurunan skala yang konsisten secara dinamis dari solusi yang lebih kasar ke skala yang memperhitungkan skala yang lebih halus, misalnya, karena ke representasi topografi yang lebih realistis.

Situasi lautan agak berbeda. Ini tidak satupun dari model lautan global yang ada saat ini menyelesaikan cuaca samudera di lintang yang lebih tinggi. Hal ini terutama berlaku untuk komponen kelautan dari model iklim global yang digabungkan. Oleh karena itu, untuk memberikan model global di area terbatas, harus menggunakan teknik nesting atau downscaling dinamis untuk saat ini. Akibatnya, model samudra dan atmosfer harus berhadapan dengan batas-batas terbuka. Pada batas-batas ini, persamaan pengatur masih valid, yang membuatnya sangat berbeda dengan batas alam di mana persamaan pengatur diganti dengan kondisi batas alam seperti misalnya kondisi tidak ada aliran normal yang melewati batas yang padat dan tidak tembus cahaya. Namun demikian, karena domain komputasi kita berakhir pada batas terbuka, kita harus memberikan kondisi batas di sana. Kondisi seperti itu disebut kondisi batas terbuka atau disingkat OBC.

Tantangan matematikanya adalah untuk membangun OBC yang memastikan bahwa solusi persamaan pengatur ada dan unik. Dari sudut pandang fisik meskipun kami ingin solusi tersebut sedekat mungkin dengan solusi yang "benar". Solusi yang tepat mengacu pada solusi yang akan kami dapatkan jika modelnya global dengan hanya kondisi batas alam yang diterapkan. Jadi ketika menerapkan OBC untuk menentukan solusi, tidak yakin bahwa solusi yang diperoleh adalah yang benar. Selain itu, secara umum tidak mungkin untuk membuktikan bahwa solusi yang kami peroleh itu unik. Hanya untuk masalah satu dimensi yang sangat sederhana yang memungkinkan

Bahkan mereka mencoba untuk memecahkan persamaan barotropik, kuasigeostropik yang dirumuskan dalam persamaan vortisitas potensial untuk domain komputasi yang terbatas pada sebuah bujur sangkar yang terletak di tengah Samudra Atlantik Utara. Jadi, mereka harus menerapkan OBC di keempat sisi domain.

Batas terbuka (open boundary) adalah batas komputasi di mana gangguan yang berasal dari interior domain komputasi diizinkan untuk meninggalkannya tanpa mengganggu solusi interior yang memburuk. Jadi kondisi yang diterapkan pada batas terbuka memenuhi persyaratan tertentu. Persyaratan ini nantinya dapat digunakan untuk membangun kriteria yang dengannya keberhasilan OBC yang digunakan dapat dinilai. batas terbuka adalah batas buatan antara apa yang disebut domain komputasi (atau bidang minat) dan domain eksterior.

Untuk mengilustrasikan hal ini, kita pertimbangkan gelombang Kelvin yang dibuat di bagian dalam domain kita dan merambat menuju batas terbuka. Kondisi yang kita terapkan pada batas terbuka kemudian harus dapat membiarkan gelombang melewatinya dan tidak terpantul, yaitu tidak ada energi yang terkandung dalam gelombang Kelvin yang boleh diradiasikan kembali ke interior.

domain komputasi. Selanjutnya, OBC yang dipilih mengarah ke solusi yang stabil (secara numerik). Selain itu, dari sudut pandang matematika kami mensyaratkan bahwa OBC bersama dengan persamaan yang mengatur mengarah ke masalah matematika yang diajukan dengan baik atau setidaknya cukup baik sehingga solusi ada dan unik.

Banyak proses di lautan dan atmosfer merupakan proses yang melibatkan perambatan gelombang dengan satu atau lain cara. Oleh karena itu, upaya awal untuk mengembangkan OBC, mendasarkan formulasi OBC mereka pada persamaan gelombang sederhana.

Di sini φ mewakili variabel dependen, cφ adalah komponen kecepatan fase normal batas yang terkait dengan variabel φ, sedangkan ∂n menunjukkan turunan normal ke batas terbuka. Pada dasarnya berasumsi bahwa gangguan yang melewati batas terbuka terdiri dari gelombang. Perhatikan bahwa gangguan yang melewati batas dapat terdiri dari beberapa gelombang dengan panjang gelombang yang berbeda dan hanya berlaku untuk satu komponen Fourier saja.

Jika kecepatan fasa terbatas dan berbeda dari nol, maka kita memiliki kondisi radiasi yang sebenarnya. Masalahnya kemudian dikurangi untuk menentukan kecepatan fasa cφ. Jika solusinya dalam bentuk gelombang yang diketahui, katakanlah gelombang Kelvin barotropik. Gelombang Kelvin barotropik adalah fenomena umum dalam oseanografi. Itu termasuk dalam kelas gelombang gravitasi planet. Gelombang Kelvin biasanya tersaring dalam model meteorology. Dalam keadaan ini kecepatan fasa diketahui, dan dalam kasus gelombang Kelvin adalah kecepatan fasa.

dimana g adalah percepatan gravitasi, dan H adalah kedalaman kesetimbangan kolom fluida.

Salah satu yang paling populer adalah yang disebut kondisi spons. Intinya, metodenya adalah memperluas domain komputasi di luar area yang diminati (domain interior) untuk memasukkan area di mana energi yang terkandung di bagian solusi yang meninggalkan domain interior secara bertahap berkurang. Dalam praktiknya, mencapai hal ini dengan secara bertahap meningkatkan kepentingan relatif dari istilah-istilah yang terkait dengan proses difusif atau gesekan saat solusi dikembangkan atau disebarkan ke domain eksterior atau domain yang diperluas (terkadang disebut sebagai domain spons).

di mana γ adalah konstanta di domain interior, katakan γ = γ0. x ∈ <0, L> dimana x = 0 dan x = L adalah batas terbuka. Di luar domain interior, kami memperluas domain komputasi untuk menyertakan area di mana kami membiarkan parameter gesekan γ meningkat secara bertahap.

 dimana 

α adalah panjang gelombang dan h0 adalah konstanta. Kami mengamati bahwa seiring berjalannya waktu, amplitudo larutan dalam domain spons berkurang. Lebih lanjut, kami melihat bahwa kecepatan fase berkurang dengan meningkatnya γ, yaitu menurun saat gelombang merambat lebih dalam ke area spons. Masalah lain dengan kondisi spons adalah jika larutan terdiri dari gelombang paksa, misalnya diatur oleh persamaan seperti

di mana τ mewakili gaya, maka solusi dalam lapisan spons larutan gelombang sebelumnya dan solusi didominasi oleh keseimbangan antara suku gaya dan suku gesekan, yaitu, u = τ / γ, yang berarti bahwa γ meningkatkan u berkurang sehingga massa (volume) terakumulasi di dalam zona spons. Untuk integrasi jangka panjang akumulasi volume ini mengubah tekanan yang memaksa dan cepat atau lambat ini akan berdampak pada solusi interior juga.

kita dapat menggunakan metode karakteristik untuk membangun OBC yang reflektif lemah juga untuk masalah termasuk nonlinier, efek Coriolis, dan gayanya.

Dimana F^x. F^y adalah suku gaya, dan f adalah parameter Coriolis. Kami segera mengenali sistem tersebut sebagai persamaan air dangkal untuk fluida barotropik.

kondisi batas terbuka yang reflektif lemah menjadi,

valid pada x = L. Pendekatan beda hingga untuk persamaan ini kemudian memberikan OBC yang reflektif lemah.